Чему равна остаток при делении квадрата нечетного натурального числа на 8?

ответ:

Запишем нечетное натуральное число как 2n + 1
Тогда его квадрат равен: (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 4n (n + 1) + 1.
Произведение n (n + 1) - произведение двух последовательных натуральных чисел , один из которых обязательно парно.
Итак, 4n (n + 1) - кратное 8. Поэтому остаток от деления 4n (n + 1) + 1 на 8 равен 1.
Что и требовалось доказать.