Пусть технология производства представлена производственной функцией: Q = K1/4 • L1/4 Издержки производства равны 80

Для определения оптимального количества труда и капитала необходимо решить задачу оптимизации затрат на производство и получение максимальной выручки.

Стоимость производства Q можно выразить через затраты на капитал (K) и труд (L):

Q = K1/4 • L1/4

Затраты на производство складываются из затрат на капитал и затрат на труд:

C = R + W • L

где C - затраты на производство, R - арендная плата, W - заработная плата.

Выручка (P) равна произведению количества продукции (Q) на цену единицы продукции (p):

P = p • Q

Цена единицы продукции (p) можно определить по формуле:

p = P / Q

Максимальную выручку можно получить при максимальной производительности (Q), которая достигается при оптимальном соотношении затрат на капитал и труд.

Продифференцируем функцию затрат по K и L:

dC/dK = 1/4 • K-3/4 • L1/4
dC/dL = 1/4 • K1/4 • L-3/4

Условие оптимальности: dC/dK = dC/dL

1/4 • K-3/4 • L1/4 = 1/4 • K1/4 • L-3/4

Упрощаем:

L/K = 1

Таким образом, оптимальное соотношение затрат на капитал и труд равно 1:1.

Для определения оптимального количества труда и капитала необходимо учитывать бюджет фирмы и цену единицы продукции. Если цена продукции выше затрат на производство, то фирма может использовать больше капитала и труда для увеличения производства и получения дополнительной прибыли. Если же цена продукции ниже затрат на производство, то фирма должна сократить затраты на капитал и труд, чтобы минимизировать убытки.