1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная. Докажите,

1) ОС ⊥ АС по определению. Продлим ОС до точки В так, что СВ = ОС. В ΔОВА отрезок АС является высотой и медианой, так как ОС = ВС по построению, таким образом, ΔОВА — равнобедренный. Откуда АО = АВ и ОВ = 2ОС = 2R.
2) Проведем к данной окружности касательную, проходящую через данную точку А. Сначала соединим точки О и А.
Затем проведем окружности с центром О и радиусом 2R и ОА. Они пересекаются в двух точках В и В1.
ОВ и ОВ1 пересекают окружность в точках С и С1. Соединив их с точкой А, получим две касательные АС и АС1.
ΔОАВ и ΔОАВ1 — равнобедренные АС и АС1 — медианы, значит они являются и высотами. Таким образом, АС ⊥ ОС = R, АС1 ⊥ ОС1 = R, следовательно, АС и АС1 — касательные. Т.к. к окружности можно провести не более двух касательных (задача № 16 § 5), то построение закончено.