при каких значениях параметра а неравенство ( х-2а-1 ) / ( х-а) < 0 выполняется

Чтобы определить в каких пределах находится параметр неравенства (х - 2а - 1) / (х - а) < 0, воспользуемся условием, при котором дробь имеет отрицательное значение: числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это значит: (х - 2а - 1) < 0 и (х - а) > 0 или (х - 2а - 1) > 0 и (х - а) < 0. Решая системы этих неравенств, получаем: а > х > 2а + 1 или а < х < 2а + 1. Так как по условию 1 < х < 2, то сравнивая неравенства, заключаем, что первая система не имеет решений, вторая система даёт 1 < а < х < 2а + 1≤ 2; 1 ≤ а < 2а + 1≤ 2, поскольку знаменатель не может быть равен нулю. 1 < а ≤ 1,5.
Ответ: неравенство (х - 2а - 1) / (х - а) < 0 выполняется для всех x е [1;2] при а е (1; 1,5].