При социологических опросах граждан каждый человек независимо от других может дать неискренний ответ с вероятностью

Для решения данной задачи необходимо использовать биномиальное распределение.

Пусть p - вероятность неискреннего ответа, тогда вероятность искреннего ответа q = 1 - p.

n - количество опросов, k - количество неискренних ответов.

Вероятность получить k неискренних ответов из n опросов будет равна:

P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

где C(n, k) - число сочетаний из n по k.

Так как вероятность неискреннего ответа равна 0,2, то вероятность искреннего ответа будет q = 1 - 0,2 = 0,8.

Тогда вероятность получить не более 4620 неискренних ответов из 22500 опросов будет равна:

P(0) + P(1) + ... + P(4620), где P(k) - вероятность получить k неискренних ответов из 22500 опросов.

Для вычисления данной вероятности можно воспользоваться формулой Пуассона, так как n = 22500 достаточно большое число:

λ = n * p = 22500 * 0,2 = 4500

Тогда вероятность получить не более 4620 неискренних ответов будет равна:

P = Σ P(k) = Σ C(n, k) * p^k * q^(n-k) = Σ (λ^k / k!) * e^(-λ),

где Σ - сумма по k от 0 до 4620.

Для вычисления данной суммы можно воспользоваться таблицами значений функции Пуассона или специальными программами.

Например, при использовании программы Excel можно воспользоваться функцией POISSON(4620, 4500, TRUE), где первый аргумент - количество неискренних ответов, второй аргумент - математическое ожидание (λ), третий аргумент - логическое значение TRUE, которое указывает на необходимость вычисления вероятности получения не более заданного количества событий (в данном случае не более 4620 неискренних ответов).

Таким образом, вероятность того, что из 22500 опросов число неискренних ответов будет не более 4620, составляет около 0,9999 или 99,99%.