Докажите, что точки A(0;1;1), B(-1;-2;1), C(3;3;-1) и К(-2;-5;1)) расположены в одной плоскости

Для того, чтобы доказать, что точки A, B, C и K лежат в одной плоскости, нужно проверить, что векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, равно нулю.

Возьмем векторы AB и AC:

AB = (-1-0; -2-1; 1-1) = (-1; -3; 0)

AC = (3-0; 3-1; -1-1) = (3; 2; -2)

Теперь найдем их векторное произведение:

AB x AC = (6; 2; -9)

Если этот вектор равен нулевому вектору, то точки A, B и C лежат в одной плоскости. Проверим:

AB x AC = (6; 2; -9) ≠ (0; 0; 0)

Значит, точки A, B и C не лежат в одной плоскости.

Теперь добавим точку K и посмотрим, лежат ли все четыре точки в одной плоскости. Для этого найдем векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости:

AK = (-2-0; -5-1; 1-1) = (-2; -6; 0)

AB = (-1-0; -2-1; 1-1) = (-1; -3; 0)

AK x AB = (0; 0; 0)

Значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.