Исследовать на экстремум функцию у=3х-6х^2

Что бы исследовать на экстремум функцию у = 3х - 6х² необходимо найти критические точки. Критические точки существует в точках, где первая производная обращается в нуль или не существует.

1) Найдем первую производную: у’ = (3х - 6х²)’ = 3 - 12х.

2) Найдем критические точки, решив уравнение у’ = 0 → 3 - 12х = 0, → x = 1/4. Получилась одна критическая точка, которая разделила ОДЗ на два промежутка (-∞; 1/4) ∩ (1/4; ∞).

3) Исследуем знак производной у’ >0 ⇔ 3 - 12х >0 ⇔ x<1/4, и у’ >0 ⇔ у = 3х - 6х² возрастает,

у’ < 0, 3 - 12х < 0 ⇔ x< 1/4 ⇔ у = 3х - 6х² убывает, (необходимое и достаточное условие монотонности функции).

Для наглядности отметим на числовой прямой: ---------(+)---------(1/4)----( - )------- .

При переходе через точку x = 1/4 производная меняет знак с " + " на " - " , ⇔ x = 1/4 - точка максимума.

y(1/4) = 3(1/4) - 6(1/4)² = 3/4 - 6/16 = 3/8.