Проведите полное исследование функции y=x^3-6x^2

Решение задачи:
Область определения: вся числовая ось.
1) Найдем точки пересечения с осью координат X (то есть с осью абсцисс). Для этого переменную y приравняем к нулю: y = 0.
x^3 – 6 * x^2 = 0.
Вынесем x^2 за скобку:
x^2 * (x – 6) = 0;
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
x^2 = 0 или x – 6 = 0;
x = 0 или x = 6.
Точки (0; 0), (6; 0) – точки пересечения с осью 0X.
2) График функции пересекает ось ординат, когда x = 0.
y = 0^3 – 6 * 0^2;
y = 0.
Точка (0; 0) – точка пересечения с осью 0Y.
3) Для нахождения экстремумов функции необходимо найти производную и приравнять ее к нулю.
y’ = (x^3 – 6 * x^2)’ = 0;
3 * x^2 – 12 * x = 0;
x = 0 или x = 4.
y(0) = 0.
y(4) = - 32.
(0; 0) и (4; - 32) – экстремумы функции.
4) Проверка на четность (нечётнос ть):
y(- x) = (- x)^3 – 6 * (- x)^2 = - x^3 – 6 * x.
Следовательно, функция ни четная ни нечетная.
5) Функция убывает на промежутках: ( - оо; 0] и [4; + оо).
Убывает на [0; 4].
6) Точки перегиба:
y’’ = 0;
(x^3 – 6 * x^2)’’ = 0;
6 * x – 12 = 0;
x = 2 – точка перегиба.
Функция вогнута на [2; + оо) и выгнута на (- оо; 2].