Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если площаль его полной поверхности в три раза

Тогда площадь основания:

S_осн = ПR^2.

Площадь полной поверхности:

S_полн = 3 ПR^2.

Площадь боковой поверхности:

S_бок = S_полн - S_осн = 3ПR^2 - ПR^2 = 2ПR^2.

Площадь боковой поверхности, выраженная через образующую L:

S_бок = ПRL;

ПRL = 2ПR^2;

L = 2R.

Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, образованный диаметром D и двумя образующими:

D = 2R и L = 2R.

Имеем равносторонний треугольник, у которого все углы равны 60°, в том числе и угол при вершине конуса.

Ответ. 60°.