Log6(x+1)+log6(2x+1)=1

Решим логарифмическое уравнение Log6 (x + 1) + log6 (2 * x + 1) = 1
Для того чтобы решить уравнение, нужно воспользоваться основными свойствами логарифма.
В левой части уравнения по свойству логарифмов стоит сумма логарифмов с одинаковым основанием.
Log6 (x + 1) + log6 (2 * x + 1) = log6 (x + 1) * (2 * x + 1).
log6 (x + 1) * (2 * x + 1) = 1
(x + 1) * (2 * x + 1) = 6 ^ 1 (освободились от логарифма по определению логарифма).
2 * x * x + x + 2 * x + 1 = 6
2 * x ^ 2 + 3 * x + 1 - 6 = 0
2 * x ^ 2 + 3 * x - 5 =0
Решим квадратное уравнение.
Найдем Дискриминант.
D = 3 ^ 2 - 4 * 2 * (- 5) = 9 + 40 = 49.
найдем корни уравнения.
x1 = (- 3 + 7) : 2 * 2 = 4 : 4 = 1.
x2 = (- 3 - 7) : 2 * 2 = = -10/4 = -5/2.

По определению логарифма должно выполняться условие:
(x + 1) > 0
(2 * x + 1) > 0

x + 1 > 0
2 * x + 1 > 0

x > - 1
2 * x > - 1

x > - 1
x > - 1/2 Общим множеством будет являться (- 1/2, + ∞). Это область допустимых значений.

корень x = 1 удовлетворяет множеству, x = - 5/2 не удовлетворяет.

Ответ: x = 1.