A) Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите его стороны, если они относятся как 1:2. б)

а) Так как в прямоугольнике стороны относятся как 1:2, а сумма длин всех егосторон равна 48 см, то выразим это так:

х – длина стороны АВ и СД;

2х – длина стороны ВС и АД;

х + 2х + х + 2х = 48;

6х = 48;

х = 48 / 6 = 8;

АВ = СД = 8 см;

ВС= АД = 2 · 8 = 16 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 16 см.

б) Биссектрисой является отрезок, который делит угол, из которого выходит, пополам. Таким образом:

∠АВК = ∠КАД = ∠ВАД / 2;

∠АВК = ∠КАД = 90º / 2 = 45º.

Рассмотрим треугольник ΔАВК. Данный треугольник прямоугольный с прямым углом ∠В.

Так как в треугольнике сумма градусных мер всех углов равна 180º, то:

∠ВКА = 180º - ∠АВК - ∠ВАК;

∠ВКА = 180º - 90º - 45º = 45º.

Из этого видим, что данный треугольник есть равнобедренным с боковыми сторонами АВ и ВК:

АВ = ВК = 6 см.

Так как сторона ВС разделена на две части, то длина ее равна сумме этих частей:

ВС = ВК + КС;

ВС = 2 + 6 = 8 см.

Р = 6 + 8 + 6 + 8 = 28 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 28 см.

в) Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник ΔАВС. Диагональ АС является его гипотенузой, а сторона АВ одним из катетов.

Так как сторона АВ относится к диагонали АС как 1:2, то угол ∠ВАС будет равен:

cos ВAС = 1 / 2, что соответствует углу 60º.

Так как треугольник ΔАВО равнобедренный, а сумма всех углов треугольника равна 180º, то:

∠АОВ = 180º - ∠ВАО - ∠АВО;

∠АОВ = 180º - 60º - 60º = 60º.

Ответ меньший угол между диагоналями равен 60º.