Окружность радиуса 4 корень из 3 описана около правильного многоугольника со стороной 12 см. найдите

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.
В нашем случае это треугольник с боковыми сторонами, равными 4√3 и основанием, равным 12 см. По теореме косинусов найдем угол при вершине этого треугольника:
Cosα = (b²+c²-a²) / 2bc. (α - между b и c). В нашем случае:
Cosα = (2 * (4√3) ²-12²) / (2*4√3) ²=-48 / (2*48) = - (1/2).
То есть центральный угол тупой и равен 120°.
Следовательно, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360°/120°=3. Это ответ.
P. S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R = (√3/3) * a. В нашем случае
R = (√3/3) * 12=4√3, что соответствует условию задачи.