докажите что сумма медиан треугольника меньше его периметра

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C - параллелограмм Поэтому BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC
Отсюда следует, что AM < 1/2 (AB + BC). Аналогично докажем, что BN < 1/2 (AB + BC), CK < 1/2 (AC + BC). Сложив почленно эти три неравенства, получим: AM + BN + CK < AB + BC + AC.