В выпуклом шестиугольнике длины отрезков А1 Д1. В1 Е1. С1F1 оказались равны где A1. B1.

Можно построить контр пример, так как этот угол из условия однозначный.
Зададим сразу расстояние одной из прямых, пусть A1D1, чтобы не вписывать множество переменных для произвольного шестиугольника, определим координаты 5 вершин произвольным образом, учитывая условно заданные расстояние и выпуклость, положим что
A (0,0), B (3,0), C (5, sqrt (12)), D (3,7), E (-2,8), F (a, b)
При этом AB=3, BC=4, ED=5.
Тогда
A1 (3/2,0)
B1 (4, sqrt (3))
C1 (4, 7/2+sqrt (3))
D1 (1/2, 15/2)
E1 ((a-2) / 2, (b+8) / 2)
F1 (a/2, b/2)
Из условия A1D1=B1E1=F1C1, получаем
(a-10) ^2 + (b+8-sqrt (12)) ^2 = (a-8) ^2 + (b-7-sqrt (12)) ^2
откуда b=2a/15 + (20*sqrt (3) - 17) / 10
Через скалярные произведение векторов найдём угол между векторами B1E1 и A1D1
cosa = (20-2a+15 (b+8-sqrt (12))) / 229
Подставляя найденный b и преобразовывая, получаем что cosa=1/2 или a=60 гр.
Ответ 60 градусов.