Докажите, что лучи, задающие векторы m=-i+j и n=i+j взаимно перпендикулярны.

Дано разложение векторов m и n по базису. Значит координаты этих векторов:
m{-i; j} и n. причем i и j - единичные векторы.
Мы знаем, что векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов: (m, n) = Xm*Xn+Ym*Yn или
(m, n) = - i*i+i*j = - i²+j² = - 1+1=0.
Вектора m и n перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно 0, что и требовалось доказать.